IREM de Caen Normandie

Adieu Didier Bessot

TrotouxD — 2024-06-20T16:16:46Z

Didier Bessot, professeur agrégé honoraire au lycée Augustin Fresnel de Caen, est décédé à Caen le 3 avril 2024 à l'âge de 76 ans. Depuis plus de quarante ans, il s'était considérablement investi à l'IREM de Basse-Normandie et à la CIIÉHM. De nombreux collègues étaient présents à ses obsèques, et l'ADÉRHÉM avait envoyé une gerbe de fleurs.

Après des études secondaires au Prytanée militaire de la Flèche comme pupille de la nation, Didier Bessot avait obtenu en 1971 une maîtrise de mathématiques à Caen. Il fut d'abord reçu au CAPES en 1976, puis à l'agrégation interne de mathématiques en 1990, l'année de la création de ce concours. Toute sa carrière d'enseignant s'est faite au lycée Fresnel, exception faite d'une année au collège-lycée expérimental d'Hérouville-Saint-Clair, mais il a aussi enseigné comme vacataire dans l'enseignement supérieur, notamment au département informatique de l'IUT de Caen de 1997 à 2003. C'est au début des années 1980 qu'il rejoignit l'IREM de Basse-Normandie, créé en 1973, et se rapprocha notamment de Jean-Pierre Le Goff et Denis Lanier, défenseurs de la « perspective historique ». Ensemble, ils ont animé à l'IREM un Cercle de lecture en histoire des sciences, créé au lycée Malherbe un Séminaire interdisciplinaire d'histoire des sciences (1984), lancé les revues Les Cahiers de la perspective (1981), La Science à l'âge baroque (1984), Scholies (1988). Avec Jean-Pierre Le Goff, Didier élabora l'exposition Le Pérugin, exercices sur l'espace, présentée au musée des Beaux-Arts de Caen au printemps 1984, et signa dans le catalogue un article au titre malicieux « La géométrie du mariage » – allusion au Mariage de la Vierge, chef-d'œuvre du Pérugin conservé à Caen. En août 1984, il fit partie de la délégation française au 5e Congrès international sur l'enseignement mathématique (ICME 5) à Adélaïde en Australie.

Passionné avant tout par l'histoire de la géométrie, il deviendra au fil des années un grand spécialiste de ce sujet. Il est l'auteur de nombreuses études sur l'histoire de la perspective et des modes de représentation (géométrie projective, théorie des coniques, anamorphoses), souvent en collaboration avec Jean-Pierre Le Goff, ainsi que, plus récemment, sur la théorie des droites parallèles. Il s'est aussi intéressé à l'histoire des probabilités (Huygens, Buffon), à l'histoire de la théorie des nombres, aux appareils mécaniques de géométrie, ainsi qu'aux recherches du savant normand Augustin Fresnel sur les systèmes optiques des phares, symbolisées sur la façade de son lycée par un phare en bas-relief de grande hauteur.

Didier a participé à l'organisation de trois colloques d'histoire des sciences en Basse-Normandie : Destin de l'art, desseins de la science (colloque ADÉRHÉM, Caen, 1986), La mémoire des nombres (Xe colloque de la CIIÉHM, Cherbourg, 1994) et Circulation, transmission, héritage (XXIIIe colloque de la CIIÉHM, Caen, 2010), et est très souvent intervenu dans les colloques de la CIIÉHM. Il a par ailleurs présenté beaucoup d'exposés à Caen pour différents publics. À titre d'exemples, citons :

en 2005 un atelier aux Journées nationales de l'APMEP sur les Calculs d'Augustin Fresnel (1788-1827) pour améliorer le rendement des phares,
en 2008 une animation lors de la Fête de la science autour des anamorphoses, dont le bulletin régional de l'APMEP signala le succès :
Les anamorphoses cylindriques préparées par le spécialiste Didier Bessot ont fasciné. C'était à qui, après avoir dessiné l'objet de son choix dans un quadrillage, le reporterait et le déformerait dans une grille incurvée pour le retrouver ensuite, parfait, quand le « miroir cylindrique » le lui renvoie. On a vu ainsi surgir d'un informe dessin au sol un très beau phénix, symbole de notre université, que la présidente d'icelle a fort apprécié.
Richard Choulet, Les Maths, l'Omega ?, n°7, janvier 2009
en 2012 une très belle (cir)conférence sur Un problème de géométrie étudié par Philippe de la Hire (1640-1718) concernant les cônes à base conique, à partir d'un manuscrit inédit,
en 2013, à l'occasion du quarantième anniversaire de l'IREM de Basse-Normandie, une magistrale démonstration de l'Utilisation d'une machine à mesurer les aires (planimètre d'Amsler) et un exposé avec Didier Trotoux sur Le jeu de la baguette de Buffon,
en 2017 une présentation du Perspectographe de Jean-Henri Lambert (1728-1777) au séminaire de rentrée de l'IREM de Basse-Normandie,
en 2023 une conférence sur Le père jésuite Girolamo Saccheri (1677–1733), correcteur d'Euclide et inventeur de résultats de la géométrie hyperbolique à venir, à l'occasion du cinquantième anniversaire de l'IREM de Basse-Normandie.

Il a également contribué de manière importante à l'initiation des professeurs de mathématiques à l'histoire de leur discipline, en formation initiale ou continue, dans l'académie de Caen, mais aussi à la Réunion où il fut invité en 2002 et 2007.

Début 2024, Didier m'écrivait ceci : « Merci de me tenir toujours au courant des activités et projets de la CIIÉHM, mais je crains que mes difficultés pour me mouvoir ne me permettent plus d'assister à ses réunions. Je présente mes vœux de bonheur et de réussite à tous les membres, et souhaite continuer à recevoir les informations sur le travail du groupe. » Cependant, sollicitant encore une fois un corps qui s'épuisait, Didier était présent à l'assemblée de l'IREM de Caen le vendredi précédant sa mort, et proposait même trois sujets d'intervention possibles dans le cadre du séminaire de l'IREM. Sa profonde érudition, sa rigueur dans le travail et la méthode, sa rectitude morale, son absence de carriérisme, son stoïcisme face à une accumulation précoce de problèmes de santé et sa profonde gentillesse derrière un abord qui pouvait intimider resteront dans les mémoires de celles et ceux qui l'ont connu.

Le phare sur le pignon du bâtiment A du lycée Augustin Fresnel de Caen, où a enseigné Didier Bessot

Notes rédigées par Pierre Ageron

Journées des régionales APMEP normandes le 13 avril

TrotouxD — 2024-03-29T16:45:48Z

Les régionales APMEP de Basse et Haute Normandie, en partenariat avec l'IREM de Caen, invitent toutes celles et tous ceux qui enseignent les mathématiques, de la maternelle à l'université, en passant par le collège et le lycée, à partager une journée, le samedi 13 avril 2024.

Une journée inter-régionales

La journée 2024 des Régionales de Haute et Basse-Normandie de l'APMEP, en co-organisation avec l'IREM de Caen, se tiendra :

le samedi 13 avril 2024

à l'Université de Caen

Campus 2 — Bâtiment S3

Des brochures et ouvrages seront exposés toute la journée. La malle « math et manip » sera présentée. Vous pourrez la découvrir ou la redécouvrir et, si vous le souhaitez, l'emprunter pour votre établissement.

L'équipe de la Régionale aimerait faire connaître l'APMEP aux enseignants du premier degré. Donc, si vous connaissez des collègues du primaire, n'hésitez pas à leur parler de notre journée, le thème pourrait les intéresser.

Nous espérons vous retrouver très nombreux à l'occasion de cette journée, pour « jouer », travailler, échanger et aussi partager quelques moments de convivialité. Inscription via le formulaire.

Le programme

9 h : Assemblée générale de la régionale APMEP de Basse-Normandie
9 h 30 : Accueil autour d'un café
10 h - 11 h 30 : Ateliers en parallèle
- Moodle Trip à la mode de Caen animé par Céline Hidalgo (enseignante du secondaire)
  Vivez l'expérience immersive d'un parcours ludifié sur Moodle sur le thème des spécialités culinaires de Normandie.
  Un petit tour gastronomique pour (re)découvrir, à ma sauce, les activités et les ressources disponibles dans la version native 4.0 pour vous mettre en appétit avant l'arrivée imminente d'Élea.
  Temps de préparation : 5 à 10 minutes, temps de cuisson : 50 à 55 minutes, temps de dégustation : 30 minutes.
  Ingrédients de base : de préférence un ordinateur portable avec son câble d'alimentation, un casque ou une paire d'écouteur, une souris.
- Utilisation de Wims animé par Éric Reyssat et Mathilde Colas (IREM Caen)
  Présentation du logiciel WIMS d'exercices interactifs :
  1) gestion de classe, exemples d'exercices et feuilles de travail de la base de données, modification ou création de nouveaux exercices
  2) Retour d'expérience avec des élèves
  prévoir si possible un ordinateur portable, merci de répondre au sondage.
- Les jeux de l'APMEP animé par Christelle Fieret (professeure des écoles)
  Venez jouer avec nous autour de la géométrie !
  Nous vous proposons de (re)découvrir les activités de la brochure Jeux- Écollège 5. Vous y trouverez de l'inspiration pour vos élèves du cycle 1 au cycle 4.
11 h 30 - 12 h : Temps d'échange sur l'organisation des journées nationales du Havre
12 h 15 : Repas au restaurant au centre commercial Côte de Nacre près du campus
14 h -15 h 30 : L'utilisation et la création de vidéos en classe, conférence participative par les DUDU, Arnaud et Julien Durand
Dans cet atelier, nous allons présenter l'apport de la vidéo dans l'enseignement.
Partant des problèmes DUDU, nous allons montrer en quoi les vidéos ont toute la place dans le développement des compétences de nos élèves, intrinsèquement liées à ces vidéos.
Dans un second temps nous présenterons d'autres vidéos qui apportent et enrichissent également notre pratique.
Enfin dans un dernier temps, nous présenterons les outils qui nous permettent de créer du contenu. Bien sûr, l'échange étant la base de notre métier, des moments de questions réponses émailleront notre intervention afin qu'elle réponde au mieux à vos interrogations.
15 h 30 : Assemblée générale de la régionale APMEP de Haute-Normandie

Navigation et logarithmes aux XVIIe et XVIIIe siècles : l'échelle de Gunter

TrotouxD — 2023-10-18T14:09:20Z

À partir de l'étude d'un cahier de navigation écrit par un pilote du Havre pendant sa détention lors de la Guerre de Sept ans, D. Trotoux a exposé comment les logarithmes découverts au début du XVII^e siècle ont été très vite utilisés et appliqués dans un domaine pratique, celui de la navigation, pour inventer un instrument graphique appelé échelle anglaise ou règle de Gunter, que l'on peut considérer comme un ancêtre de la règle à calcul. La règle de Gunter appelée plus simplement Gunter a été utilisée pour la navigation jusqu'au milieu du XIX^e siècle dans les pays anglo-saxons.

On trouvera à la fin de cet article le diaporama présenté lors de l'exposé.

Le Cahier de navigation de Jean-Baptiste Le Grip (1762)

En juin 2019, un cahier de navigation manuscrit écrit par un pilote du Havre, Jean-Baptiste Le Grip, a été acquis par la bibliothèque de la ville du Havre puis numérisé au cours du dernier trimestre de l'année 2019, ce qui a rendu son accès facile et permis son étude.

Page de garde du Cayez de Navigation

On peut consulter le manuscrit sur le site web de l'Association Science en Seine et Patrimoine (ASSP) . Le Cayez de Navigation est constitué de plus de 350 pages, il comporte 140 illustrations et diagrammes et 6 volvelles, disques mobiles en papier pivotant les uns sur les autres destinés à simplifier les calculs d'événements cycliques, notamment pour la navigation. Il a été écrit par Jean-Baptiste Le Grip pendant sa captivité (1761-1763) au château de Sissinghurst (Kent) durant la Guerre de Sept ans (1756-1763).

La volvelle double rose des vents

Pour en savoir plus sur la vie de Jean-Baptiste Le Grip :


Une vie de marin au XVIIIe siècle (M.-P. Dupeyré)

La navigation par l'Échelle Anglaise

La partie du manuscrit étudiée concerne "l'Échelle Anglaise" :

Navigation par la grande Échelle Anglaise et démonstrations par la petite ;
Questions astronomiques par l'Échelle Anglaise.

Ces deux parties occupent environ 70 pages soit environ un cinquième de l'ouvrage.
La première partie traite de problèmes de trigonométrie plane utiles pour la navigation : réductions de lieues mineures en lieues majeures [1], calcul de la moyenne parallèle entre deux latitudes données et problèmes généraux de navigation (calculs de l'air de vent [2], du chemin parcouru, des coordonnées du point d'arrivée d'une route donnée, etc.).
La deuxième partie, quant à elle, traite des problèmes de trigonométrie sphérique : détermination de la déclinaison et de l'ascension droite du Soleil [3], de ses heures de lever et coucher et de l'azimut et l'heure d'observation connaissant la déclinaison et la hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon.

Cette Échelle Anglaise n'est décrite par Le Grip que dans la première proposition sans être illustrée par un schéma. Voici ce que l'on peut lire :

En premier lieu il faut savoir et connaître les cordes de l'échelle qui est composée de cinq cordes dont la première à la main droite est la corde des huit rumbs de vent où est marqué S_R qui veut dire sinus des rumbs de vent. La deuxième corde est la corde des nombres marquée NUM ou la corde des lieues. La troisième corde est la corde de sinus ou de 90° marquée SIN. La quatrième corde de la tangente où est marqué 45°, marquée TAN ou la prendre aussi pour 90°. La cinquième corde est la corde des méridiennaux qui sert à trouver la moyenne parallèle marquée MER.

La consultation du Nouveau traité de navigation de Pierre Bouguer (1753) a permis de comprendre que les cordes en question étaient des échelles ou graduations logarithmiques et qu'elles étaient d'une grande utilité pour le calcul du quatrième terme d'une proportion dont on connaît les trois premiers termes et que l'Échelle Anglaise était une règle sur laquelle on trouvait ces différentes graduations.

Pourquoi cette dénomination d'Échelle Anglaise ?

Trois mathématiciens anglais ont joué un rôle majeur dans l'histoire de cette Échelle Anglaise :

John Napier (1550-1617), inventeur du concept de logarithmes et auteur des premières tables dans sa Mirifici logarithmorum canonis descriptio en 1614.
Henry Briggs (1556-1630), calculateur et auteur de la première table logarithmique à base décimale Logarithmorum chilias prima en 1617 reprise et complétée dans son Arithmetica Logarithmica en 1624.
Edmund Gunter (1581-1626), auteur en 1620 du Canon triangulorum… table contenant ses propres logarithmes décimaux des sinus et des tangentes nouvellement calculés et les logarithmes des nombres de Briggs et inventeur de la méthode des échelles logarithmiques dans Description and use of the sector en 1624.

C'est le nom de Gunter qui est passé à la postérité grâce à sa nouvelle table d'échelles logarithmiques puis son ingéniosité d'en faire des graduations sur des règles dites de Gunter ou tout simplement, Gunters.

L'apport d'Edmund Gunter

Gunter fut nommé professeur d'astronomie au collège de Gresham en 1619. C'était un savant actif dans de nombreux domaines en particulier l'astronomie et la navigation. Il s'intéressait aux applications des mathématiques et était, de plus, un fervent partisan du système décimal.
La loi des sinus : $$$\frac{x}{sin(X)} =\frac{y}{sin(Y)}$$$, qui était l'une des opérations les plus utiles en navigation pour déterminer les côtés et les angles d'un triangle ne pouvait pas être utilisée directement avec les tables de Napier, ni avec les tables de Briggs. En 1620, Gunter publia la première table combinée, le Canon Triangulorum… et désormais, la règle des sinus pouvait enfin être appliquée en utilisant les logarithmes des tables d'un seul livre.
Gunter a poursuivi ensuite ses recherches estimant que certains problèmes de navigation nécessitaient une solution plus simple et plus rapide que ne le permettait le calcul par tables. Cela l'a conduit à concevoir un nouveau type d'échelle où les nombres étaient représentés par des distances d'échelle logarithmique et où un compas à pointes sèches était utilisé pour ajouter et soustraire ces distances dans le domaine logarithmique.

Dans son ouvrage Use of the Sector...(1624), Gunter a proposé trois échelles logarithmiques pour faciliter les calculs de proportions. D'abord l'échelle logarithmique des nombres notée N, mais aussi l'échelle logarithmique des sinus, notée S et celle des tangentes, notée T, afin que la règle des sinus puisse être appliquée. Il a également proposé l'ajout d'une quatrième échelle logarithmique des sinus verses pour faciliter certains calculs de trigonométrie sphérique.

Image originale des échelles de Gunter

Description and use of the sector, the cross-staff and other instruments, London, 1624

La règle de Gunter

La règle de Gunter standard est le plus souvent en bois, mais parfois en laiton et des exemplaires d'un pied de long en ivoire ont été recensés. La majorité des règles de Gunter connues ne portent ni nom de fabricant ni date de fabrication. Bien sûr, on rencontre des variations, comme les échelles avec des abréviations de noms différentes, des échelles étendues mais aussi des tailles différentes. La plupart des règles de Gunter mesurent deux pieds de long sur 2 pouces ou 1 pouce et demi de large (soit environ 610 x 50 mm). Il existe des modèles d'un pied, avec les mêmes échelles que la règle de Gunter standard réduites dans cette plus petite taille.

Règle de Gunter d'un pied

Description de la règle de Gunter de 2 pieds

La règle de Gunter est graduée sur ses deux faces. Nous décrirons successivement la face recto, puis la face verso.

Face recto de la règle de Gunter

Le bord supérieur de la face recto de la règle comporte une échelle de mesure graduée de la droite vers la gauche de 0 à 24 pouces.

Face recto de la règle de Gunter

Sur la partie gauche figure une échelle diagonale qui sert à prendre les longueurs précises avec le compas en centièmes de pouces et de demi-pouces pour construire les différentes graduations de la règle.

Échelle diagonale (partie gauche de la face recto)

Sur la partie droite, on trouve un certain nombre de graduations (principalement trigonométriques) dont aucune n'est logarithmique.

Graduations de la partie droite de la face recto

Le tableau suivant donne un résumé du nom et de la signification des principales graduations (la colonne « Formule » donne la longueur proportionnelle sur une graduation pour un nombre X sur cette échelle).

Nom abrégé de la graduation	Nom complet	Signification	Formule
LEA	Lieues	Graduation linéaire des tracés de distances nautiques
RUM	Cordes [4] des rumbs	La corde vaut 2 fois le sinus du demi-angle pour les points cardinaux de la boussole (32 en 360°)	$$$2sin(5,625X)$$$
CHO	Cordes [4] des degrés	La corde vaut 2 fois le sinus du demi-angle pour les degrés	$$$2sin(\frac{X}{2})$$$
SIN	Sinus des degrés	Sinus de l'angle	$$$sin(X)$$$
SEC	Sécantes des degrés	Sécante de l'angle	$$$sec(X)$$$
TAN	Tangentes des degrés	Tangente de l'angle	$$$tan(X)$$$
S*T	Semi-tangente des degrés	Tangente du demi-angle	$$$tan(\frac{X}{2})$$$
LON ou M*L	Milles de longitudes	Longueur d'un degré à la latitude X°	$$$60cos(X)$$$ à combiner avec la graduation CHO située dessous

Face verso de la règle de Gunter

Sur la face verso de la règle de Gunter figurent des graduations logarithmiques (sauf les deux dernières) dont on donne un résumé du nom et de la signification ci-dessous.

Graduations situées sur la face verso de la règle de Gunter

Nom abrégé de la graduation	Nom complet	Signification	Formule
S*R	Sinus artificiels [5] des rumbs	log sinus des 8 premiers points cardinaux de la boussole	$$$log(sin(11,25X))$$$
T*R	Tangentes artificielles [5] des rumbs	log tangente des 4 premiers points cardinaux de la boussole	$$$log(tan(11,25X))$$$
NUM	Ligne des nombres artificiels [5]	Graduation logarithmique à 2 cycles (comme les échelles A et B de nos règles à calcul "modernes"	$$$log(X)$$$
SIN	Sinus artificiels [5] des degrés	log sinus des degrés (360°)	$$$log(sin(X))$$$
V*S	Sinus Verses artificiels [5] des degrés	log sinus verse des degrés (360°)	$$$log(1-sin^2(\frac{X}{2}))$$$
TAN	Tangentes artificielles [5] des degrés	log tangente des degrés (360°)	$$$log(tan(X))$$$
MER	Ligne Méridionale	« Accroissement du degré de latitude » sur un méridien de la carte de Mercator	$$$\int {sec(X)dX}$$$ à combiner avec E*P
E*P	Parties égales	Graduation linéaire	$$$X$$$

Utilisation de la règle de Gunter

Soit la proportion $$$A:B::C:D$$$ (qui se lit $$$A$$$ est à $$$B$$$ comme $$$C$$$ est à $$$D$$$) où $$$A$$$, $$$B$$$ et $$$C$$$ sont donnés. Comment obtenir $$$D$$$ ?

Écrivons cette proportion sous la forme $$$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$$$ ou en utilisant les logarithmes :

$$$log(A)-log(B)=log(C)-log(D)$$$.

On peut alors interpréter la proportion comme l'égalité de la distance entre $$$log(A)$$$ et $$$log(B)$$$ et de celle entre $$$log(C)$$$ et $$$log(D)$$$.

Avec un compas à pointes sèches, la distance entre $$$log(A)$$$ et $$$log(B)$$$ s'obtient en écartant les pointes du compas entrer les valeurs $$$A$$$ et $$$B$$$ de l'échelle logarithmique. Il suffit alors, en gardant cet écart, de déplacer le compas de sorte qu'un de ses pieds soit placé en $$$log(C)$$$, c'est-à dire sur la valeur $$$C$$$ de l'échelle logarithmique. L'autre pied du compas tombera alors en $$$log(D)$$$. On peut alors lire directement la valeur $$$D$$$ en ce point sans avoir à utiliser le logarithme inverse.

On peut imaginer le temps gagné par rapport à l'ancienne méthode où il fallait lire dans la table $$$log(A)$$$, $$$log(B)$$$ et $$$log(C)$$$, puis effectuer le calcul $$$log(C)-(log(A)-log(B))$$$ pour obtenir $$$log(D)$$$ et enfin $$$D$$$ par lecture inverse de la table.

Pour illustrer cette pratique, prenons deux exemples dans l'ouvrage d'Edmund Stone, The construction and principal uses of mathematical instruments publié à Londres en 1723. Cet ouvrage est une traduction de l'ouvrage Traité de la construction et des principaux usages des instruments de mathématiques de Nicolas Bion (1709), complété par la construction et l'utilisation des instruments que celui-ci n'avait pas recensés, principalement ceux inventés et perfectionnés par les Anglais, en particulier la règle de Gunter.

Exemple 1 : Étant donnés la base d'un triangle rectangle de 30 milles et l'angle opposé à celle-ci de 26 degrés, trouver la longueur de l'hypoténuse.

Comme le sinus de l'angle, 26 degrés, est à la base, 30 milles, ainsi le rayon est à la longueur de l'hypoténuse. Placez un pied de votre compas sur le 26e degré de la ligne des Sinus, et étendez l'autre à 30 sur la ligne des Nombres ; le compas restant ainsi ouvert, placez un pied sur 90 degrés, ou sur la fin de la ligne des Sinus et faites-en sorte que l'autre tombe sur la ligne des Nombres, ce qui donnera 68 milles et demi environ, pour la longueur de l'hypoténuse cherchée.

Explication : On a $$$\frac{sin \,26°}{30} =\frac{sin \, 90°}{x}$$$ soit $$$log(sin \,26°)-log(30) = log(sin \, 90°)-log(x)$$$.Le premier membre de l'égalité correspond à la première ouverture du compas et le second membre à l'ouverture reportée. Sur l'échelle des nombres, on peut lire environ 70 milles sous la pointe gauche du compas (celui représenté en rouge).

On peut remarquer que l'égalité précédente peut aussi s'écrire : $$$log(sin \, 90°)-log(sin \,26°) =log(x)-log(30)$$$, ce qui permet de prendre la première ouverture sur l'échelle SIN et de la reporter sur l'échelle NUM. On voit ici l'intérêt d'avoir placé ces deux échelles l'une au-dessus de l'autre de manière adjacente ce qui permet, dans ce cas, de n'avoir à déplacer le compas qu'horizontalement le long de la ligne commune de ces deux échelles.

Exemple 2 : Étant donnés la base d'un triangle rectangle de 25 milles et la perpendiculaire de 15 milles, trouver l'angle opposé à cette perpendiculaire.

Comme la base 25 milles est à la perpendiculaire 15 milles, ainsi le rayon est à la tangente de l'angle cherché ; car si la base est faite rayon, la perpendiculaire serait la Tangente de l'angle opposé à la perpendiculaire. Ouvrez votre compas sur la ligne des Nombres, de 15, la perpendiculaire donnée, à 25, la base donnée, et la même ouverture sera obtenue en sens inverse, sur la ligne des Tangentes, de 45 degrés à 31 degrés, l'angle recherché.

Explication : On a $$$\frac{25}{15} =\frac{1}{tan \,\theta} = \frac{tan \,45°}{tan \, \theta}$$$ soit $$$log(25)-log(15) = log(tan \,45°)-log(tan \, \theta)$$$. Le premier membre de l'égalité correspond à la première ouverture du compas et le second membre à l'ouverture reportée. Sur l'échelle des tangentes, on peut lire environ 31° sous la pointe gauche du compas (celui représenté en rouge).

Cas de la trigonométrie sphérique

La loi des sinus de la trigonométrie sphérique (qui s'applique aussi bien au triangles rectangles qu'aux triangles obliques) s'écrit : $$$\frac{sin\,A}{sin\,a}=\frac{sin\,B}{sin\,b}$$$ où $$$A$$$ et $$$B$$$ sont les angles aux sommets du triangle et $$$a$$$ et $$$b$$$, les segments des grands cercles qui leur sont opposés (c'est-à-dire les côtés du triangle). Les angles et les côtés sont mesurés en degrés.

En utilisant les logarithmes, cette égalité peut être vue au choix comme : $$$log(sin \, A) - log(sin \, a) = log( sin \, B ) - log(sin \, b)$$$ ou $$$log(sin \, A) - log(sin \, B) = log(sin \, a) - log(sin \, b)$$$.

Les règles utilisées pour la résolution des triangles sphériques possédant un ou plusieurs angles droits, expriment des proportions qui relient le rapport des sinus à l'un ou l'autre des autres rapports de sinus ou des proportions qui relient les rapports des sinus aux rapports des tangentes.

Ainsi, les mêmes procédures fonctionneront, en utilisant une paire de distances sur la ligne des sinus et une autre sur la ligne des tangentes.

Pour les triangles sphériques obliques où un CAC, CCC ou AAA [6] est impliqué, la situation est plus compliquée et l'utilisation de la ligne des sinus verses peut être envisagée.

Exemple 3 : Étant donnés l'hypoténuse d'un triangle sphérique rectangle de 60 degrés, par exemple, et un des côtés de 20 degrés, trouver l'angle opposé à ce côté.

Comme le sinus de l'hypoténuse 60 degrés est au rayon, ainsi le sinus du côté donné 20 degrés est au sinus de l'angle recherché. Ouvrez votre compas, sur la ligne des Sinus, de 60 degrés au rayon ou 90 degrés, et la même ouverture sera obtenue sur la ligne des Sinus dans le même sens, de 20 degrés, le côté donné, à 23 degrés 10 minutes, la quantité de l'angle recherché.

Explication : Par la formule $$$sin\,c=sin \,a \times sin \, C$$$, on a $$$\frac{sin \, 60°}{1} =\frac{sin \, 20°}{sin \,C} = \frac{sin \, 60°}{sin \, 90°}$$$, ce qui peut aussi être écrit sous la forme $$$log(sin \, 90°)-log(sin \, 60°) = log(sin \,C)-log(sin \, 20°)$$$. Le premier membre de l'égalité correspond à la première ouverture du compas et le second membre à l'ouverture reportée. Sur l'échelle des sinus, on peut lire environ 24° sous la pointe droite du compas (celui représenté en rouge).

Fabrication d'une réplique de la règle de Gunter

Ayant compris la fabrication et l'utilisation de cette règle, il était tentant de la mettre à l'épreuve des problèmes de navigation proposés à titre démonstratif par Le Grip dans son manuscrit, pour en déterminer la précision. Une première réplique de la règle a été réalisée à l'aide d'une règle en carton de 40 cm sur laquelle avaient été collées des photocopies des faces recto et verso de la règle. Il s'est avéré à l'usage que la précision obtenue avec cette réplique, à savoir un degré, était très loin de celle indiquée par Le Grip, la minute. Il a alors été décidé de fabriquer une réplique en bois à l'échelle 1/1 de la règle de Gunter.

Dans un premier temps, des plans des graduations de chaque face ont été réalisés à l'aide du logiciel $$$Geogebra^{®}$$$ et enregistrés au format vectoriel .svg.

Ensuite ces fichiers ont été importés dans le logiciel de dessin vectoriel $$$Inkscape^{®}$$$ pour y insérer les noms des différentes graduations et indiquer les valeurs numériques.

La dernière étape s'est déroulée au FabLab Le Dôme de Caen où il a été possible d'utiliser une découpeuse laser. Le matériau utilisé est du contreplaqué de peuplier d'épaisseur 5 mm. Le fichier .svg est chargé dans le logiciel $$$Inkscape^{®}$$$ et on choisit comme pilote d'impression celui de la découpeuse laser et, une fois les réglages effectués, on utilise le logiciel qui pilote la découpeuse laser. C'est la couleur de tracé des traits qui détermine le travail effectué par la découpeuse laser (dans notre cas, Rouge = découpe, Bleu = gravure fine pour les graduations et Noir = surface gravée pour les noms des échelles et les valeurs numériques).

Avec cette nouvelle réplique de la règle, la précision obtenue est nettement améliorée (environ 15 minutes) sans atteindre toutefois la précision affichée dans le texte de Legrip. On ne peut qu'être admiratif devant le savoir-faire et la précision du travail des facteurs d'instruments des XVII^e et XVIII^e siècles et on peut émettre l'hypothèse que certaines valeurs indiquées par Le Grip avaient été calculées à l'aide d'autres méthodes que l'utilisation de la règle de Gunter puisqu'un même problème pouvait être repris pour illustrer différentes méthodes de calcul (par le quartier de réduction, par le quartier sphérique, par les sinus logarithmes...), ce qui expliquerait cette différence de précision.

Documents annexes

Diaporama de l'exposé "Navigation et logarithmes aux XVIIe et XVIIIe siècles : l'échelle de Gunter	Navigation par l'Échelle Anglaise : texte de Le Grip et transcription	Règles de Gunter en navigation - Otto Van Poelje - Journal of the Oughtred Society - 2004	Fabrication et utilisations de l'échelle de Gunter - Edmund Stone - 1723

Bibliographie

Pierre Bouguer, Nouveau traité de navigation contenant la théorie et la pratique du pilotage, Paris, 1753.
Joel Silverberg, The Plain and Gunter's Scales – Seventeenth Century Additions to the Toolbox of Students and Practitioners of the Mathematicks, MAA/AMS Joint Mathematical Meetings, Baltimore, 01/2014.
Edmund Stone, The construction and principal uses of mathematical instruments translated from the French of M. Bion, chief instrument-maker to the French king, to which are added, the constructions and uses of such instruments as are omitted by M. Bion ; particularly of those invented or improved by the English, London, 1723 (traduction des pages consacrées à l'échelle de Gunter).
Otto Van Poelje, Gunter Rules in Navigation, Journal of the Oughtred Society, Vol. 13, N° 1, Spring 2004, p. 11-22, (traduction).
Évelyne Barbin et al., Histoires de logarithmes, Ellipses, Paris, 2006.
Le dossier Naviguer par l'échelle anglaise sur le site de l'ASSP : http://assprouen.fr/.
La documentation du projet sur le site du Fab Lab Le Dôme de Caen

[1] La lieue marine est une distance correspondant à un vingtième de degré. Elle est dite "mineure" si elle est parcourue sur un parallèle et "majeure" si elle est parcourue sur un grand cercle, par exemple un méridien.

[2] C'est une des 32 directions correspondant aux 32 divisions de la rose des vents. De nos jours, on utilise le terme de cap.

[3] Ce sont les équivalents sur la sphère céleste de la latitude et de la longitude terrestre, nommées aussi coordonnées équatoriales.

[4] Au sens de corde d'un arc.

[5] "artificiel(le)s" signifie que cette graduation est logarithmique.

[6] C pour côté, A pour angle qui sont supposés connus.

Adieu Michel !

TrotouxD — 2023-10-03T13:34:57Z

C'est avec une vive émotion que nous avons appris la disparition soudaine de Michel Soufflet le 8 juillet 2023, à l'âge de 75 ans.


Michel lors des 40 ans de l'IREM en 2013

Michel Soufflet a été président de l'APMEP de 1985 à 1987, après avoir été président de la régionale de Basse Normandie. Une intervention au Burundi lui a fait découvrir l'Afrique et l'a décidé à partir en coopération. Conseiller pédagogique à Nouakchott en Mauritanie puis chef de file des Mathématiques en Côte d'ivoire, il est revenu en France en 1995 puis reparti en Guadeloupe en 1999, et plus tard, en Polynésie.

Très investi dans l'IREM de Caen, il y a été animateur de 78 à 88, de 95 à 99 et de nouveau à partir de 2013 à chaque fois que ses pérégrinations le ramenaient en Normandie. À partir de 1985, il avait collaboré au groupe calculatrice et il avait participé à la publication de la brochure « Kreisleriana » avec Béatrice Haquier et Yves Hellegouarch, dans le groupe mathématiques et musique. Marin, il passait beaucoup de temps sur son voilier et s'intéressait aux mathématiques de la navigation en mer. Il avait rédigé des articles pour le journal « Miroir » de l'IREM de Caen, sur sa conception de l'enseignement des mathématiques dans le numéro 14 et sur le phénomène des marées numéro 16.


Michel lors du séminaire de rentrée de l'IREM en 2016 à Tatihou

Séminaire de rentrée de l'IREM en 2016 à Tatihou

Guitariste et chanteur, il appréciait la chanson française mais tout particulièrement Georges Brassens qu'il reprenait volontiers et ne manquait aucune occasion d'animer avec sa guitare les soirées de l'IREM.


Michel animant la soirée des 40 ans de l'IREM en 2013

La retraite venue, il a publié le livre « 100 énigmes mathématiques de tous les jours » aux éditions Vuibert et proposé des articles pour la rubrique « Les problèmes de Papy Michel » dans la revue de l'APMEP, Au Fil des Maths.

Bibliographie de Michel Soufflet sur Publimath.

AG de l'IREM vendredi 6 octobre 2023

TrotouxD — 2023-09-28T10:31:23Z

L'AG de rentrée de l'IREM a eu lieu le vendredi 6 octobre 14h-16h30.

Les dates du séminaire ont été fixées :

vendredi 17 novembre 2023 14h-16h : groupe Histoire des sciences (Didier Trotoux)
vendredi 19 janvier 2024 : groupe Jeux2Maths
vendredi 16 février 2024 : groupe Histoire des sciences
vendredi 15 mars 2024 : groupe Histoire des sciences
vendredi 12 avril 2024 : groupe Numérique et mathématiques

La participation est libre et gratuite.

Pour chaque séance, une information sera publiée à l'avance sur le site de l'IREM (https://irem.unicaen.fr/) et envoyée sur la liste de diffusion de l'IREM.

Chaque personne intéressée pour recevoir les informations de l'IREM peut s'inscrire à la liste de diffusion (cf. détails sur https://irem.unicaen.fr/spip.php?article234).

N'hésitez donc pas à faire la promotion du séminaire et de la liste de diffusion !

À noter dans vos agendas si ce n'est déjà fait, les dates retenues pour les AG de l'IREM en 2024 :

vendredi 29 mars après-midi (présence de l'Inspection académique de mathématiques en lien avec la présence des propositions de l'IREM dans le PRAF)
vendredi 21 juin après-midi

Compte rendu détaillé de l'AG du 16 octobre

AG de l'IREM : vendredi 17 mars 2023

TrotouxD — 2023-03-29T16:27:54Z

Comme prévu, cette AG a principalement concerné l'organisation des 50 ans de l'IREM les vendredi 12 et samedi 13 mai prochains, mais d'autres informations communiquées lors de l'AG vous intéresseront aussi probablement dans ce compte-rendu !

Échéance importante pour tous les groupes souhaitant présenter un atelier (voir compte-rendu + planning prévisionnel ci-joints) :
Communiquer un titre et un résumé d'atelier pour le jeudi 6 avril (pour les présents à l'AG, cela peut être le vendredi 7 pendant l'AG) afin de permettre la finalisation du programme par la direction de la communication et sa diffusion avant les congés scolaires. Format : un titre, accompagné d'un résumé de 150 mots maximum, soit environ 10 lignes en Times 12 pt au format A4.

Depuis l'AG, d'autres informations importantes me sont parvenues concernant l'organisation des 50 ans de l'IREM.

1. Les animateurs de l'IREM de Caen pourront bénéficier pour le vendredi après-midi d'un OM sans frais de la part des IA-IPR.
Il suffit pour cela d'envoyer une demande avant le 7 avril à l'adresse générique des IPR (adresse que je n'ai malheureusement pas retrouvée au moment d'écrire le présent message mais que la plupart d'entre vous avez certainement déjà).

2. Suite à l'échange que j'ai eu avec elle jeudi dernier, Viviane Durand-Guerrier a envoyé le titre et le résumé de son intervention.

Titre : Articulation entre la recherche, la formation et le terrain au sein des IREM. L'exemple de la logique

Résumé : Dans cette conférence, je commencerai par présenter brièvement mon parcours pour préciser d'où je parle. Je montrerai ensuite sur l'exemple de la logique le rôle que peuvent jouer les IREM comme précurseurs sur un thème absent du curriculum officiel pendant des années après l'abandon de la réforme des mathématiques modernes et réintroduit dans les programmes de lycée à la fin des années 2000. Ceci me permettra de souligner l'importance des IREM pour le développement de collaborations entre enseignants de mathématiques de la maternelle à l'université, formateurs d'enseignants, chercheurs en mathématiques, chercheurs en didactique, histoire et épistémologie des mathématiques et de leurs interactions.

3. Les services de l'UFR ont réservé des salles sur le campus 2 et gère la communication avec les services de sécurité.
La communication avec le service financier est pleinement opérationnel (et sympathique) autour de l'organisation des 50 ans (salles, restauration, pauses café, persopass pour accéder à Internet, etc.).

4. IREM de Rouen :
le groupe "Activités" et le groupe "Lesson Study" mèneront un atelier commun le vendredi (au lieu du seul groupe "Activités")
le groupe M.O.N.A.F. se présentera le samedi mais sans mener un atelier

Compte rendu de l'AG du 17 mars 2023

AG de l'IREM : vendredi 3 février 2023

TrotouxD — 2023-01-31T13:15:27Z

La deuxième assemblée générale de l'IREM a eu lieu le vendredi 3 février 2023 de 14h30 à 16h30.

L'objet principal de cette AG était de préciser l'organisation des 50 ans de l'IREM (vendredi 12 mai après-midi et samedi 13 mai journée) :
- conférenciers du samedi matin (possiblement Eric Lehman, premier directeur de l'Irem de Basse-Normandie, et ?)
- ateliers du vendredi et du samedi (durée, groupes ?)
- communication autour de ces journées
Nous avons aussi échangé sur des questions diverses, avant de partager ensuite une bonne galette !

La prochaine AG a été fixée au vendredi 17 mars de 14h à 16h (établissement du programme, derniers détails d'organisation des 50 ans de l'IREM).

Vous trouverez ci-joint un compte-rendu de cette AG.


Compte rendu de l'AG du 3 février 2023

Le contenu mathématique du Livre III : les triangles (prop. 1 à 15)

TrotouxD — 2022-12-26T20:35:02Z

Section précédente : Le plan du Livre III et les outils utilisés

Les triangles

Le Livre III s'ouvre sur une série de propositions destinés à évaluer les aires de triangles ou trapèzes délimités par des diamètres, des tangentes aux sommets et des ordonnées menées d'un ou de plusieurs points d'une conique. Ces polygones ont souvent comme sommet un point quelconque d'une conique et les deux côtés issus de ce point sont les ordonnées relativement à deux repères différents. Ces propositions permettent donc, entre autres, de faciliter les changements de repère. Le souci de généralité d'Apollonios le conduit à étudier pour chaque propriété les différents cas de figure obtenus suivant les positions de certains points, la nature de la conique considérée et l'utilisation de diamètres conjugués. D'autre part Apollonios transfère souvent ces propriétés à l'autre branche de l'hyperbole (qu'il considère – rappelons-le – comme une courbe différente) ainsi qu'à l'hyperbole conjuguée. Quand on considère que certains de ces cas manquent dans le texte apollonien et que, par ailleurs, certaines propositions ont été interpolées partiellement ou en entier, on aboutit à un groupe relativement touffu de propositions, dans lequel le lecteur moderne a quelque mal à se retrouver et où il a tendance à vouloir synthétiser les résultats obtenus. C'est cette synthèse que nous présentons ci-dessous avant de lire en détail les trois premières propositions.

Notations

Pour effectuer cette synthèse et mieux observer l'aspect combinatoire et symétrique des résultats d'Apollonios nous avons introduit les notations suivantes. Un repère est défini le plus souvent par un diamètre (noté $$$(d_1)$$$), passant par un sommet et la tangente (notée $$$(t_1)$$$) en ce sommet qui donne la direction des ordonnées. De façon plus générale, le couple $$$(d_i,t_i)$$$ représente le repère n° $$$i$$$. Cette situation se généralise au cas de l'hyperbole, où l'on a des repères dont le diamètre ne coupe pas la section. La direction des ordonnées est alors donnée par le diamètre conjugué.

Les points sont représentés par des lettres, mais les lettres indexées représentent des droites passant par ces points.
Plus précisément, pour un point $$$M$$$ quelconque, $$$M_i$$$ désigne l'ordonnée passant par M relativement au repère $$$(d_i,t_i)$$$.
tr$$$(d_1t_1t_2)$$$ désigne l'aire du triangle formé par les trois droites $$$(d_1)$$$, $$$(t_1)$$$ et $$$(t_2)$$$.
qu$$$(t_1M_1M_2d_2)$$$ désigne l'aire du quadrilatère formé par les quatre droites $$$(t_1)$$$, $$$(M_1)$$$, $$$(M_2)$$$ et $$$(d_2)$$$. Si ce quadrilatère est croisé, il s'agit de la différence des aires des triangles formés. En fait ce sont toujours des trapèzes, avec $$$(t_1)$$$ // $$$(M_1)$$$, et donc :

qu$$$(t_1M_1M_2d_2)$$$ = $$$\lvert$$$tr$$$(t_1M_2d_2) -$$$tr$$$(M_1M_2d_2) \rvert$$$

$$$ \\ $$$

On trouvera sur les figures suivantes (fig. IVa 1, fig. IVa 2 et fig. IVa 3) des exemples de ces notations pour les trois types de coniques.

fig. IVa 1	fig. IVa 2
fig. IVa 3

L'ordre des propositions 1 à 15

Les propositions 1 à 3 se rapportent à une situation sur une même conique quelconque.
Les propositions 4 à 12 concernent cette même situation sur des hyperboles opposées.
Les propositions 13 à 15 étudient enfin cette situation dans le cas des hyperboles conjuguées.

Les trois énoncés

On peut regrouper les quinze propositions en trois types d'énoncés.

Le premier énonce la constance du triangle formé par deux tangentes et un diamètre :

$$$ \fbox {$ \large \textbf{(E}_{\textbf{1}}\textbf{)} \qquad \textbf{tr(d}_\textbf{1}\textbf{t}_{\textbf{1}}\textbf{t}_\textbf{2}\textbf{)=}\textbf{tr(d}_\textbf{2}\textbf{t}_{\textbf{2}}\textbf{t}_\textbf{1}\textbf{)} $}$$$

$$$ \\ $$$

Il est vrai sur une même section conique (prop. 1, fig. IVa 4, fig. IVa 5 et fig. IVa 6) ou sur les hyperboles opposées (prop. 4, fig. IVa 7).

fig. IVa 4	fig. IVa 5
fig. IVa 6	fig. IVa 7

Dans la suite, sauf exception, on présentera dans les figures uniquement la situation de l'ellipse. Le lecteur pourra faire les figures correspondant aux autres coniques.

Le deuxième énoncé concerne le « trapèze » obtenu à partir d'un point quelconque $$$M$$$ de la conique. Ce trapèze est limité par, d'une part, les ordonnées issues de $$$M$$$ correspondant à deux diamètres, d'autre part, l'un des diamètres et la tangente au sommet de l'autre diamètre. Ce trapèze est égal au triangle défini par cette tangente, le diamètre qui lui correspond et l'ordonnée issue de $$$M$$$ relative à l'autre repère.

$$$ \fbox {$ \large \textbf{(E}_{\textbf{2}}\textbf{)} \qquad \textbf{qu(t}_\textbf{1}\textbf{M}_{\textbf{1}}\textbf{M}_\textbf{2}\textbf{d}_{\textbf{2}}\textbf{)=}\textbf{tr(t}_\textbf{1}\textbf{M}_{\textbf{2}}\textbf{d}_\textbf{1}\textbf{)} $}$$$

$$$ \\ $$$

Cette propriété est énoncée pour une même section (prop. 2, fig. IVa 8 pour un trapèze convexe, fig. IVa 9 pour un trapèze croisé), puis avec un second diamètre (prop. 5 et prop. 11), sur des branches d'hyperboles opposées (prop. 6) et enfin sur des hyperboles conjuguées (prop. 14 et prop. 15).

On peut remarquer que si l'on place le point $$$M$$$ au sommet de $$$(d_2)$$$ (intersection avec $$$(t_2)$$$), l'énoncé $$$(\textrm{E}_2)$$$ revient à l'énoncé $$$(\textrm{E}_1)$$$, qui en est donc un cas particulier.


fig. IVa 8


fig. IVa 9

Enfin le dernier énoncé, le plus général, traite de l'égalité de trapèzes obtenus en deux points d'une conique, définis d'une part, par les deux ordonnées de ces points et d'autre part, par l'ordonée de l'un des points et le diamètre d'un autre repère.

$$$ \fbox {$ \large \textbf{(E}_{\textbf{3}}\textbf{)} \qquad \textbf{qu(M}_\textbf{1}\textbf{N}_{\textbf{1}}\textbf{N}_\textbf{2}\textbf{d}_{\textbf{2}}\textbf{)=}\textbf{qu(N}_\textbf{2}\textbf{M}_{\textbf{2}}\textbf{M}_\textbf{1}\textbf{d}_{\textbf{1}}\textbf{)} $}$$$

$$$ \\ $$$

Ce résultat est donné d'abord sur une même conique (prop. 3, fig. IVa 10), puis sur deux branches d'hyperboles opposées (prop. 7), dans certains cas particuliers (prop. 8, prop. 9. et prop. 10), avec un diamètre conjugué (prop. 12).


fig. IVa 10

On peut remarquer que si l'on place le point $$$M$$$ au sommet de $$$(d_1)$$$, alors l'énoncé $$$(\textrm{E}_3)$$$ devient l'énoncé $$$(\textrm{E}_2)$$$, qui en est donc un cas particulier.

Ces 15 propositions expriment donc diverses formes d'une propriété générale des coniques. Nous n'avons pas voulu considérer les cas particuliers (dont certains ne sont pas plus évoqués par Apollonios que par nous) du genre : que se passe-t-il si $$$(d_1)$$$ et $$$(d_2)$$$ sont perpendiculaires ?

Lecture des trois premières propositions.

Avant de commencer notre lecture, il convient de donner brièvement le contenu des propositions 42 à 45 du Livre I. Ces propositions démontrent dans différents cas (proposition 42 pour la parabole, proposition 43 pour les coniques à centre, proposition 44 pour les deux branches de l'hyperbole, proposition 45 pour un diamètre conjugué) le même résultat : le triangle formé à partir d'un point quelconque d'une conique entre les ordonnées issues de ce point et le diamètre du premier repère est égal au quadrilatère (trapèze ou différence de triangles homothétiques pour une conique à centre, parallélogramme pour une parabole) formé par les deux diamètres, la tangente au sommet du premier repère et l'ordonnée du premier repère issue du point. Avec les notations introduites ci-dessus, on obtient l'énoncé :

$$$ \fbox {$ \large \textbf{(E}_{\textbf{0}}\textbf{)} \qquad \textbf{tr(M}_\textbf{1}\textbf{M}_{\textbf{2}}\textbf{d}_{\textbf{1}}\textbf{)=}\textbf{qu(t}_{\textbf{1}}\textbf{M}_{\textbf{1}}\textbf{d}_{\textbf{1}}\textbf{d}_{\textbf{2}}\textbf{)} $}$$$

$$$ \\ $$$


fig. IVa 11

Les démonstrations utilisent principalement les propriétés issues de la division harmonique définie sur un diamètre par une tangente (Livre I, propositions 35 et 39).

Micheline Decorps-Foulquier a montré dans sa thèse (XXX, pp. 154-162), à partir des commentaires d'Eutocius et d'un lemme de Pappus que ces démonstrations avaient été sans doute écrites initialement par Apollonios de façon progressive : un premier énoncé, qui pouvait faire l'objet d'une proposition intermédiaire entre I.42 et I.43 démontrait que pour une conique à centre :

$$$ \large \textbf{(E}_{\textbf{0,1}}\textbf{)} \qquad \textbf{tr(d}_\textbf{1}\textbf{d}_{\textbf{2}}\textbf{t}_{\textbf{1}}\textbf{)=}\textbf{tr(d}_{\textbf{2}}\textbf{d}_{\textbf{1}}\textbf{t}_{\textbf{2}}\textbf{),}$$$

$$$ \\ $$$

résultat qui apparaît dans la variante d'Eutocius de la démonstration de I.43, et que des commentateurs ont interpolé ensuite dans la proposition III.1 (cf. fig. IVa 12). On peut noter qu'Apollonios donne cet énoncé pour des hyperboles conjuguées (prop. 13, fig. IVa 13).


fig. IVa 12

fig. IVa 13

Le deuxième énoncé démontre un résultat équivalent au précédent :

$$$ \large \textbf{(E}_{\textbf{0,2}}\textbf{)} \qquad \textbf{tr(d}_\textbf{1}\textbf{t}_{\textbf{2}}\textbf{B}_{\textbf{1}}\textbf{)=}\textbf{qu(t}_{\textbf{1}}\textbf{B}_{\textbf{1}}\textbf{d}_{\textbf{1}}\textbf{d}_{\textbf{2}}\textbf{)}$$$

$$$ \\ $$$
en notant $$$B$$$ le sommet de ($$$d_2$$$) (cf. fig. IVa 14).

fig. IVa 14

Ce résultat est d'ailleurs un cas particulier de l'énoncé ($$$E_0$$$) ci-dessus, si l'on place le point $$$M$$$ au sommet du deuxième repère.

D'un point de vue plus moderne, on peut dire que l'énoncé ($$$E_0$$$) exprime la constance de l'aire d'un certain quadrilatère quelle que soit la position du point $$$M$$$ sur la conique. Mais il faut noter que ce quadrilatère n'est plus un trapèze et il faut entendre la valeur absolue de la somme ou de la différence des aires des triangles tr$$$(M_1M_2d_1)$$$ et tr$$$(d_1d_2M_1)$$$, la somme étant faite dans le cas de l'ellipse, la différence dans le cas de l'hyperbole (cf. fig IVa 15).

$$$ \fbox {$ \large \textbf{(E'}_{\textbf{0}}\textbf{)} \qquad \left \lvert \textbf{tr(}\textbf{M}_\textbf{1}\textbf{M}_\textbf{2}\textbf{d}_\textbf{1}\textbf{)} \pm \textbf{tr(}\textbf{d}_\textbf{1}\textbf{d}_\textbf{2}\textbf{M}_\textbf{1}\textbf{)} \right \rvert \textbf{=} \, \textbf{tr(}\textbf{d}_\textbf{1}\textbf{d}_\textbf{2}\textbf{t}_\textbf{1}\textbf{)}$}$$$

$$$ \\ $$$
Figure IVa 15

Nous pouvons maintenant commencer la lecture des trois premières propositions.

À suivre...

Le plan du Livre III et les outils utilisés

TrotouxD — 2022-12-18T10:30:00Z

Section précédente : Interprétation moderne des relations d'Apollonios

Le plan du Livre III et les outils utilisés.

Le Livre III du Traité des Coniques présente une structure et une organisation logique assez simple.

En modernisant le propos, on peut résumer les six parties du Livre III de la manière suivante. Ce découpage ainsi que les sous-titres sont de notre fait et ne figurent pas dans le texte d'Apollonios.

La première partie rassemble les propositions 1 à 15 sous le titre « Les triangles ». Elle concerne des égalités d'aires de triangles et quadrilatères formés par les ordonnées d'un point d'une conique relativement à deux repères. On y utilise le groupe des propositions 42 à 45 du Livre I. Elles sont résumées plus loin lors de l'étude détaillée de cette partie.

La deuxième partie comporte les propositions 16 à 29 sous le titre « Les puissances ». Elle est consacrée aux propriétés des puissances que nous appellerons directionnelles d'un point par rapport à une conique. On y fait appel à la première partie « Les triangles » du Livre III. On trouve aussi des utilisations de I.21 (deuxième forme des relations caractéristiques de l'ellipse et de l'hyperbole), de I.60 (construction et définition des hyperboles conjuguées) et de II.11 (constance du produit des distances d'un point d'une hyperbole aux asymptotes dans la direction d'un diamètre).

La troisième partie rassemble les propositions 30 à 40 sous le titre « Le pôle et la polaire ». On y trouve la propriété générale de la division établie par une conique sur une sécante entre le pôle et sa polaire. On y utilise la première partie « Les triangles » du Livre III ainsi que des propriétés des livres précédents, principalement : I.20 et I.21 (deuxième forme des relations caractéristiques des coniques), I.37 et I.38 (propriété caractéristique du pied de la tangente en un point sur un diamètre ou sur le diamètre conjugué), II.8 (symétrie oblique des asymptotes) et II.12 (constance du produit des distances d'un point d'une hyperbole aux asymptotes dans des directions données).

La quatrième partie réunit les propositions 41 à 44 sous le titre « Les tangentes ». Elle traite de certaines propriétés des tangentes à une conique. On ne fait appel à aucune des propositions précédentes du Livre III, mais sont utilisées : I.35, I.37 et I.38 (propriété caractéristique du pied de la tangente en un point sur un diamètre ou sur le diamètre conjugué) et II.12 (constance du produit des distances d'un point d'une hyperbole aux asymptotes dans des directions données).

La cinquième partie comporte les propositions 45 à 52 sous le titre « Les foyers ». Elle concerne la définition et les principales propriétés des foyers, y compris la définition bifocale des ellipses et hyperboles. On y utilise principalement la proposition 42 de la partie précédente « Les tangentes » du Livre III.

Enfin la sixième partie réunit les propositions 53 à 56 sous le titre « La génération ». Elle est consacrée à la génération ponctuelle et/ou tangentielle des coniques, c'est-à-dire à la construction point par point d'une conique dont on connaît deux points avec leurs tangentes, et un autre point. Elle fait surtout appel aux propositions 16, 18, 20 de la deuxième partie « Les puissances » du Livre III.

Dans ce qui précède nous n'avons fait mention que des énoncés non triviaux, c'est-à-dire autres que les propositions supposées bien connues des Livres I et II (propriétés des diamètres et asymptotes, relations caractéristiques des coniques, etc...) dont on a pu trouver un résumé plus haut. Les références internes à chaque partie ne sont pas non plus indiquées.

Section suivante : Le contenu mathématique du Livre III : les triangles (prop. 1 à 15)

Interprétation moderne des relations d'Apollonios

TrotouxD — 2022-12-18T10:00:00Z

Section précédente : résumé du Livre II

Interprétation moderne des relations d'Apollonios

L'étude des coniques se réduit maintenant à un savoir minimum. Les coniques à centre, en particulier, sont systématiquement étudiées dans le repère orthogonal défini sur l'axe focal avec le centre comme origine. Des calculs élémentaires établissent que les coordonnées $$$ (x , y)$$$ repérant un point d'une ellipse ou d'une hyperbole satisfont les équations $$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$$ ou $$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$$. On sait aussi interpréter les nombres figurant aux dénominateurs. Le « $$$a$$$ » mesure le demi-axe focal ; le « $$$b$$$ » mesure le petit axe de l'ellipse ou s'il s'agit d'une hyperbole, le segment de tangente allant du sommet de l'axe jusqu'au point de sa rencontre avec l'une des asymptotes. Tous ces éléments sont placés sur les figures (voir fig. IIc 1 pour l'ellipse et fig. IIc 2 pour l'hyperbole).


Fig IIc 1


Fig IIc 2

Une expression des constantes $$$a$$$ et $$$b$$$ en fonction des constantes apolloniennes $$$cd$$$ et $$$ct$$$ est possible non seulement pour ce repère orthogonal, mais aussi pour tous les repères reposant sur les axes employés par Apollonios, c'est-à-dire, pour les repères dont les axes sont construits sur un diamètre et sur la tangente à l'un de ses sommets. Le qualificatif d'apollonien permet de distinguer ces repères et de simplifier le discours. Néanmoins, le lecteur gardera à l'esprit qu'il s'agit là d'un anachronisme commode, car le concept de repère n'appartient pas à l'époque d'Apollonios. Une translation d'un repère apollonien au centre de la conique, donne une repère formé sur les diamètres conjugués en raison du parallélisme de la tangente et du diamètre conjugué qui est aussi le second diamètre de l'ellipse. Le texte suivant se propose de montrer que la forme des équations réduites se maintient dans tout repère formé de deux diamètres conjugués. Auparavant, il se propose d'établir les relations entre les constantes « $$$a$$$ » et « $$$b$$$ », augmentées de quelques autres, et les constantes apolloniennes $$$ct$$$ et $$$cd$$$ et de montrer qu'elles sont indépendantes du repère formé sur deux axes conjugués.

Établir les relations entre les différentes constantes suppose que les équations réduites existent dans tout repère formé de deux diamètres conjugués. Sous cette hypothèse, l'entreprise n'est pas très difficile et se réduit à un simple jeu d'écriture. Elle repose sur la transformation de l'équation apollonienne lors d'une translation, au centre de la conique, du repère apollonien, construit sur le diamètre $$$AA'$$$ et sur la tangente au sommet $$$A$$$. Les éléments de la démonstration sont représentés sur les figures. Laissons de côté l'hyperbole qui nous mènerait à une répétition des arguments et considérons seulement l'ellipse. Les coordonnées d'un point courant P forment le couple $$$(x + a , y)$$$ dans le repère apollonien et le couple $$$(x , y)$$$ dans le repère utilisant le même jeu d'axes mais rapporté au centre, autrement dit dans le repère formé de deux diamètres conjugués.

Dans le premier repère, l'équation d'Apollonios s'écrit $$$ y^2 = cd \cdot (a + x) – \frac{cd}{ct} \cdot (a + x)^2$$$. D'où,

$$$ y^2 = cd \cdot a + cd\cdot x - \frac{cd}{ct} \cdot a^2 - 2a \cdot x \cdot \frac{cd}{ct} - x^2 \cdot \frac{cd}{ct}$$$.

En utilisant, l'égalité $$$ ct = 2a$$$, il vient

$$$ y^2 = \frac{cd \cdot ct}{4} - x^2 \cdot \frac{cd}{ct} \Leftrightarrow \frac{x^2}{\left( \frac{ct}{2} \right)^2} + \frac{y^2}{\frac{cd}{2} \times \frac{ct}{2}} = 1$$$.

Par identification avec $$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$$, on obtient

$$$a = \frac{ct}{2}$$$ et $$$ b^2 = \frac{cd \cdot ct}{4}$$$.

D'où, $$$ ct = 2a$$$ (on le savait déjà) et $$$ cd = \frac{2b^2}{a}$$$ .

En formant la proportion $$$ \frac{cd}{b} = \frac{2b}{a}$$$, la dernière égalité induit une construction simple de $$$ cd$$$.


Fig IIc 3

Sur la figure IIc 3 le côté droit est reporté sur la tangente au sommet. Apollonios aurait choisi de le reporter sur une perpendiculaire au diamètre en l'un de ses sommets pour former un vrai rectangle de dimensions $$$x$$$ et $$$cd$$$, ou, en termes apolloniens, il forme le rectangle $$$AH \cdot HP$$$ en tant que surface qu'il compare à la surface carrée PH. La découverte de rapports irrationnels lui interdisait de passer d'une comparaison toujours licite entre des grandeurs géométriques à celle des nombres censés les mesurer, comme $$$x$$$ fois $$$cd$$$ et $$$ y^2$$$.

Par ailleurs, l'égalité $$$ \frac{cd}{ct} = \frac{b^2}{a^2}$$$ permet une expression de l'excentricité $$$e$$$ d'une conique à centre en fonction des nombres $$$cd$$$ et $$$ct$$$.

En effet, dans le cas de l'ellipse, $$$ \frac{cd}{ct} = \frac{b^2}{a^2} \Leftrightarrow \frac{ct - cd}{ct} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} \Leftrightarrow \frac{ct - cd}{ct} = e^2$$$.

Dans le cas de l'hyperbole, $$$ \frac{cd}{ct} = \frac{b^2}{a^2} \Leftrightarrow \frac{ct + cd}{ct} = \frac{a^2 + b^2}{a^2} \Leftrightarrow \frac{ct + cd}{ct} = e^2$$$.

Le cas de la parabole est plus simple. Son équation réduite dans un repère orthonormé porté par l'axe et la tangente au sommet est de la forme $$$ y^2 = 2p \cdot x$$$. Donc, $$$ cd = 2p$$$. Comme $$$p$$$ est le double de la distance focale $$$f$$$ dans ce repère, nous avons aussi $$$ cd = 4 f$$$.

Dans un repère apollonien, seule l'égalité $$$ cd = 2p$$$ se conserve.

Constructions simples du côté droit

Le paragraphe précédent à montré comment passer des grandeurs apolloniennes $$$ct$$$ et $$$cd$$$ aux constantes apparaissant dans les équations modernes. Celui-ci se propose de représenter le côté droit à partir des grandeurs données dans le texte d'Apollonios, donc, indépendamment des équations réduites modernes. Le dessin du côté transverse ne posant pas de difficulté, la suite ne concerne que celui du côté droit. La construction proposée s'appuie sur celle de la moyenne géométrique. La figure II.c 4 illustre la construction de l'égalité $$$ h^2 = x \times y$$$. En fait, il faut y voir deux constructions, l'une ayant la moyenne géométrique $$$h$$$ pour inconnue, l'autre, l'un des facteurs $$$x$$$ ou $$$y$$$. Dans la situation où l'inconnue est $$$h$$$, le cercle de diamètre $$$AB = x + y$$$ intercepte la perpendiculaire $$$PH$$$ en $$$P$$$ et nous donne $$$h$$$. Dans celle où $$$y$$$ et $$$h$$$ sont connues, c'est la perpendiculaire $$$PA$$$ à l'hypoténuse qui nous donne $$$x$$$ et le cercle est inutile. La représentation du côté droit demande seulement de connaître la dernière construction.


Fig IIc 4

Au préalable, rapportons les coordonnées d'un point du plan au repère construit sur un axe et sur la tangente à un sommet. Un point de la conique voit donc ses coordonnées satisfaire aux égalités apolloniennes $$$ y^2 = cd \cdot x - \frac{cd}{ct} \cdot x^2$$$ pour une l'ellipse et $$$ y^2 = cd \cdot x + \frac{cd}{ct} \cdot x^2$$$ pour une l'hyperbole. En particulier, les points de l'ellipse dont l'abscisse est $$$ \frac{ct}{2}$$$ , c'est-à-dire, les deux sommets du second diamètre, ont leurs coordonnées $$$ ( \frac{ct}{2} , y)$$$ qui vérifient l'égalité :

$$$ y^2 = \frac{cd}{2} \times \frac{ct}{2}$$$.

C'est une moyenne géométrique. De même, les points de l'hyperbole dont l'abscisse est $$$ct$$$ ont leurs coordonnées $$$ (ct , y)$$$ qui vérifient l'égalité $$$ y^2 = 2ct \times cd$$$. C'est une autre moyenne géométrique.

Dans l'ellipse, $$$ \frac{ct}{2}$$$ et $$$ y = OB^{\,*}$$$ sont connus. En reportant $$$OB^{\,*}$$$ sur la perpendiculaire, en $$$O$$$, au diamètre $$$AB$$$, la construction de la moyenne géométrique détermine le demi-côté droit sur $$$(AB)$$$. Un cercle de centre $$$O$$$ reporte le côté droit sur le diamètre conjugué et deux parallèles suffiraient à le reporter sur la tangente au sommet (voir figure IIc 5).


Fig IIc 5

Dans l'hyperbole, $$$ 2 \cdot ct$$$ et $$$y$$$ sont connus, l'un comme symétrique de $$$A$$$ par rapport à $$$B$$$, l'autre en traçant la parallèle à la tangente au sommet. En reportant $$$y$$$ sur la perpendiculaire, en $$$ x = ct$$$, au diamètre $$$AB$$$, la construction de la moyenne géométrique détermine le demi-côté droit sur $$$(AB)$$$ comme pour l'ellipse. Le côté droit se reporte ensuite sur l'ordonnée $$$y$$$, puis, à l'aide d'une parallèle au diamètre sur la tangente au sommet (voir fig. IIc 6).


Fig IIc 6

La représentation du côté droit sur la figure d'une parabole procède d'une construction entièrement différente bien que le repère soit toujours formé d'un diamètre et de la tangente en son sommet. Les coordonnées d'un point courant sur la courbe satisfont donc à l'équation apollonienne $$$ y^2 = cd \cdot x$$$ et l'ordonnée du point d'abscisse $$$cd$$$ vérifie l'égalité $$$ y^2 = cd^2$$$. C'est toujours une moyenne géométrique mais sans grandeur connue à priori. Un changement de méthode s'impose et l'égalité $$$ x = y = cd$$$ suggère la construction d'un losange. Toute ordonnée étant parallèle à la tangente au sommet, une bissectrice de l'angle formé par la tangente au sommet et le diamètre rencontre la courbe en un point $$$P$$$ qui avec le sommet $$$A$$$ forme un losange dont les côtés ont même longueur que le côté droit (cf fig. IIc 7).


Fig IIc 7

Stabilité des équations réduites

La première partie de ce texte a montré les relations existant entre les constantes d'Apollonios $$$cd$$$ et $$$ct$$$ et les nôtres. L'argumentation reposait sur le fait que les égalités $$$ \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$ et $$$ \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$ reliant les coordonnées $$$(x , y)$$$ d'un point d'une conique à centre, ont la propriété d'exister dans tout repère formé par deux axes conjugués. Ce paragraphe propose une démonstration de cette propriété en s'appuyant sur la proposition 21 du livre I dont les résultats sont une généralisation aux cas de l'ellipse et de l'hyperbole de la propriété métrique fondamentale du cercle, à savoir, $$$ PH^2 = AH \cdot HB$$$. Les égalités numérotées (1) et (2) résument sous une forme moderne ceux qui concernent l'ellipse. Cette démonstration s'accompagne aussi d'un dessin définissant les différents éléments de l'argumentation (voir fig IIc 8).


Fig IIc 8

$$$ \large \frac{{HP}^2}{\overline{AH} \cdot \overline{HB}} = \large \frac {{O{A}^*}^2}{{OA}^2} = \large \frac{cd}{ct} \qquad \normalsize{(1)}$$$

$$$ \large \frac{{{H}^*P}^2}{\overline{{A}^*{H}^*} \cdot \overline{{H}^*{B}^*}} = \large \frac {{OA}^2}{{O{A}^*}^2} = \large \frac{{cd}^*}{{ct}^*} \qquad \normalsize{(2)}$$$

Le point P formant le quatrième sommet d'un parallélogramme, nous obtenons les égalités suivantes :

$$$ {P{H}^*}^2 = HO^2 = (\overline{AO} - \overline{AH})(\overline{BO} - \overline{BH} )$$$

Soit : $$$ {P{H}^*}^2 = \overline{AO} \cdot \overline{OB} - \overline{AO} \cdot \overline{BH} - \overline{AH} \cdot \overline{BO} + \overline{AH} \cdot \overline{BH}$$$

Ou encore : $$$ {P{H}^*}^2 = \overline{AO} \cdot \overline{BO} - \overline{AO} \cdot (\overline{BH} + \overline{HA}) + \overline{AH} \cdot \overline{BH}$$$, car $$$ \overline{BO} = - \overline{AO}$$$.

C'est-à-dire : $$$ {P{H}^*}^2 = - AO^2 - 2\overline{AO} \cdot \overline{OA} + \overline{AH} \cdot \overline{BH}$$$, car $$$ \overline{BA} = 2\overline{OA}$$$.

Soit : $$$ {P{H}^*}^2 = AO^2 + \overline{AH} \cdot \overline{BH}$$$.

Ou : $$$ \large \frac{{P{H}^*}^2}{OA^2} = 1 + \large \frac{\overline{AH} \cdot \overline{BH}}{OA^2}$$$.

Soit : $$$ \large \frac{{P{H}^*}^2}{OA^2} = 1 - \large \frac{{HP}^2}{{O{A}^*}^2}$$$ , d'après l'égalité $$$ (1)$$$ car $$$ \overline{BH} = - \overline{HB}$$$.

Et finalement : $$$ \large \frac{{P{H}^*}^2}{{OA}^2} + \frac{{HP}^2}{{O{A}^*}^2} = \normalsize{1}$$$ c'est-à-dire, $$$ \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$.

Ce résultat est prouvé à partir de $$$ PH^{\,*}$$$ et en utilisant l'égalité $$$(1)$$$. Il pourrait se démontrer en partant de $$$PH$$$. Le raisonnement conserverait les mêmes articulations mais il considérerait les grandeurs de l'axe conjugué ($$$A^{\,*}B^{\,*}$$$) et l'égalité $$$(2)$$$ se substituerait à l'égalité $$$(1)$$$. Le lecteur pourra observer que la relation $$$ \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$ fait jouer un rôle parfaitement symétrique aux deux axes. Celui des abscisses est donc arbitraire et pourrait ne pas être le grand axe.

La stabilité des équations réduites liant les coordonnées d'un point d'une ellipse est maintenant démontrée dans tous les repères formés de deux diamètres conjugués. Le même résultat existe pour l'hyperbole et il se démontre de la même manière, mais en utilisant les relations de la proposition 21 qui, sous une forme moderne, se résument dans les égalités $$$(1')$$$ et $$$(2')$$$. Comme pour l'ellipse, le dessin annexe définit les autres éléments de la démonstration (cf. fig. IIc 9).


Fig IIc 9

$$$ \large \frac{{HP}^2}{\overline{AH} \cdot \overline{BH}} = \large \frac {{O{A}^*}^2}{{OA}^2} = \large \frac{cd}{ct} \qquad \normalsize{(1')}$$$

$$$ \large \frac{{{H}^*P}^2}{\overline{{A}^*{H}^*} \cdot \overline{{B}^*{H}^*}} = \large \frac {{OA}^2}{{O{A}^*}^2} = \large \frac{{cd}^*}{{ct}^*} \qquad \normalsize{(2')}$$$

Le raisonnement est en tout point identique au précédent, mais les propositions $$$(1')$$$ et $$$(2')$$$ entraînent que :

$$$ 1 + \large \frac{\overline{AH} \cdot \overline{BH}}{{OA}^2} = 1 + \large \frac{{HP}^2}{{O{A}^*}^2}$$$ et donc, que :

$$$ \large \frac{{P{H}^*}^2}{{OA}^2} - \frac{HP^2}{{O{A}^*}^2} = \normalsize{1} \Leftrightarrow \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$.

Le diamètre conjugué dans l'hyperbole

Le diamètre conjugué au côté transverse joue donc un rôle important dans l'étude des coniques. Nous avons choisi de le noter $$${ct}^*$$$ pour traduire l'expression côté transverse conjugué. Il est aussi, dans l'hyperbole comme dans l'ellipse, la longueur que, dans les équations réduites $$$ \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$ et $$$ \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$, nous notons $$$2b$$$. Toutefois, le diamètre conjugué $$${ct}^*$$$ n'a pas toujours sur la figure d'une hyperbole l'évidence qu'il a sur celle d'une ellipse. Il se voit bien quand les asymptotes sont données, car, en venant couper la tangente à l'un des sommets de l'axe, elles interceptent un segment de la longueur du diamètre conjugué. Sans les asymptotes, le diamètre conjugué n'est plus repérable. Il peut se construire à l'aide de la définition donnée par Apollonios, à savoir l'égalité $$$ cd \cdot ct = {ct^*}^2$$$ de laquelle, puisque $$$ {ct}^* = 2b$$$, on déduit l'égalité $$$ \large \frac{cd}{2} \cdot \frac{ct}{2} = \normalsize{b^2}$$$. Sa construction est donc à nouveau celle d'une moyenne géométrique.
Le texte suivant et la figure qui l'accompagne en proposent une construction sur la tangente au sommet B, quand les grandeurs connues sont le côté droit $$$cd$$$ et le côté transverse $$$ct$$$ (cf. fig IIc 10).


Fig IIc 10

À partir du sommet $$$B$$$, un arc de cercle reporte la longueur $$$ \large \frac{cd}{2}$$$ sur le grand axe, puis le cercle de diamètre $$$ \large \frac{cd}{2} + \frac{ct}{2}$$$ intercepte la perpendiculaire réalisant la moyenne géométrique de $$$ \frac{cd}{2}$$$ et de $$$ \large \frac{ct}{2}$$$, c'est-à-dire, en un point distant de $$$b$$$ du sommet $$$B$$$. Un arc de cercle reporte symétriquement la longueur $$$b$$$ sur la tangente au sommet. En plus de la longueur $$$2b$$$, ces deux points et le centre nous donnent les deux asymptotes.

Résumé

Pour la lecture et la compréhension du texte d'Apollonios, aucun des résultats précédents n'est vraiment nécessaire car l'étude faite par Apollonios se suffit à elle-même. Ils ne sont donnés que pour jeter un pont entre la manière moderne de voir les coniques et celle d'Apollonios, et afin de ne pas se sentir trop ignorant à la lecture d'énoncés formulant une mathématique d'un autre temps.

La suite propose un résumé des propriétés précédentes et de quelques autres. L'ensemble pouvant former un vade-mecum du lecteur d'Apollonios.

Les grandeurs $$$a$$$ et $$$b$$$, des équations $$$ \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$ et $$$ \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$, l'excentricité $$$e$$$ et la distance focale $$$f$$$ sont reliés au côté droit $$$cd$$$ et au côté transverse $$$ct$$$ par les égalités suivantes :

$$$ ct = 2a$$$ ;
$$$ cd = 2p$$$ pour la parabole. Lorsque le diamètre est l'axe focal, $$$cd = 4 \times f$$$ ;
$$$ cd = \large \frac{2b^2}{a}$$$ pour les coniques à centre. Lorsque le diamètre est l'axe focal, la longueur $$$cd$$$ est aussi la distance entre les deux points de la courbe, symétriques par rapport au même foyer. Ainsi, la connaissance de l'une des grandeurs $$$cd$$$ ou $$$f$$$ permet la construction de l'autre ;
$$$ \large \frac{cd}{ct} = \frac{b^2}{a^2}$$$.

La distance $$$c$$$ des foyers au centre d'une conique vérifie les égalités $$$ c^2 = a^2 + b^2$$$ pour l'hyperbole et $$$ c^2 = a^2 - b^2$$$ pour l'ellipse et pour ces deux coniques, les foyers sont les points dont l'ordonnée relative à l'axe focal mesure $$$ \large \frac{cd}{2}$$$.

Le quadruple de la distance focale d'une parabole est déterminée par l'abscisse d'un point commun à la courbe et à une bissectrice de l'angle que forment l'axe focal et la tangente au sommet. Cette abscisse valant $$$cd$$$, la distance focale vaut $$$ \large \frac{cd}{4}$$$.

$$$ \large {\frac{ct - cd}{ct}} = \normalsize {e^2}$$$ pour l'ellipse, où $$$0$$$ < $$$e$$$ < $$$1$$$ ;
$$$ \large {\frac{ct + cd}{ct}} = \normalsize {e^2}$$$ pour l'hyperbole où $$$1$$$ < $$$e$$$ ;
pour la parabole, $$$ e = 1$$$.

La directrice d'une parabole est la perpendiculaire à l'axe focal passant par le symétrique du foyer par rapport au sommet. Celle des coniques à centre est éloignée de $$$ \large\frac{a^2}{c}$$$ du centre. Géométriquement, on obtient la directrice en construisant son pied sur l'axe focal qui est est le conjugué harmonique du foyer le plus proche par rapport aux deux sommets du diamètre.

Les lignes suivantes rassemblent des résultats d'un usage constant :

Les diamètres coupent les ordonnées en leur milieu (par définition).

Les ordonnées relatives à un même diamètre sont parallèles à la tangente au(x) sommet(s) de ce diamètre

Les diamètres conjugués ou, autrement dit, les côtés transverses conjugués ne sont définis que pour les coniques à centre. Ils sont parallèles aux ordonnées relatives au diamètre.

Les diamètres et les diamètres conjugués passent par le centre de la conique. Ils forment un repère par rapport auquel les équations de l'ellipse et de l'hyperbole sont réduites et respectivement $$$ \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$ et $$$ \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$.

Les diamètres conjugués s'accompagnent d'un côté droit conjugué. Leurs longueurs respectives $$${ct}^*$$$ et $$${cd}^*$$$ sont déterminées par les égalités $$${{ct}^*}^2 = cd \cdot ct$$$ et $$$ {ct}^2 = {cd}^* \cdot {ct}^*$$$. Ensemble, ils définissent une conique à centre dite conjuguée de la conique définie par le couple $$$(ct,cd)$$$. Les égalités précédentes montrent que $$$ {a}^* = b$$$ et $$$ {b}^* = a$$$. L'ellipse et sa conjuguée forment une seule courbe, car l'équation réduite est symétrique. En revanche, et bien qu'elles partagent les mêmes asymptotes, l'hyperbole se distingue de sa conjuguée.

Les diamètres de la parabole sont parallèles entre eux.

Les asymptotes d'une hyperbole passent par le centre de la conique. Elles rencontrent les tangentes aux sommets du diamètre en des points éloignés d'une longueur $$$b$$$ du sommet, définie par l'égalité $$$ {b}^2 = \large \frac{ct}{2} \times \frac{cd}{2}$$$. Le nombre $$$b$$$ est aussi celui de l'équation $$$ \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$.

Les diamètres conjugués ont pour longueur le nombre $$$2b$$$ des équations $$$ \large \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = \normalsize{1}$$$. C'est le second diamètre dans l'ellipse. Dans l'hyperbole, il a même longueur que le segment de tangente au sommet intercepté par les asymptotes.

Section suivante : Plan du Livre III