IREM de Caen Normandie

Extension de pavages pentagonal et dodécagonal en « Rosace céleste »

admin — 2020-05-06T08:08:09Z

Dans le document joint Danielle Salles-Legac présente un ensemble de constructions à partir de pavages pentagonaux et dodécagonaux.

- GEOMETRIE

Activités autour des pavages de Frédéric Mansuy

Danielle.salles, Ruben.rodriguez — 2019-02-18T16:00:00Z

Voici les références de deux articles fondamentaux de Frédéric Mansuy :

Mansuy Frédéric : Supersymétrie d'ordre 5. En ligne :
http://supersymetrie.fr/
Mansuy Frédéric : The Fibonacci Quarterly". En ligne :
https://www.fq.math.ca/Papers1/55-5/Mansuy.pdf

Nous souhaitons, dans les pages qui suivent, vous présenter et vous faire participer à une (toute petite) partie des travaux de Frédéric Mansuy.
De nombreux mathématiciens amateurs ont fait progresser les mathématiques et sont souvent restés dans les mémoires par un théorème ou une notion importante. Nous pensons bien sûr à Ramanujan ce personnage mystérieux mais aussi à Viète et à Fermat…
Sans vouloir choquer sa modestie, Frédéric Mansuy a, lui aussi un parcours peu commun puisqu'il a débuté sa vie professionnelle avec un CAP de tisserand et l'a poursuivie comme imprimeur. Il nous a conté que les travaux du Prix Nobel de chimie (en 2011) Daniel Schechtman pour sa découverte des Quasi-cristaux, s'étaient révélés un déclencheur puissant de sa recherche. Nous avons fait sa connaissance lors des journées internationales de l'Association des chercheurs passionnés par les suites de Fibonacci qui ont eu lieu l'année passée à Caen, organisées par notre collègue Christian Ballot, où il présentait ses travaux.

Voir en ligne : Image des Maths

Ces activités peuvent être suivies de considérations sur la physique des solides, en particuliers avec les quasi-cristaux, nous espérons pouvoir poursuivre ces recherches grâce aux compétences de Frédéric Mansuy dans ces domaines.

Étude géométrique et arithmétique de la « Rosace Céleste » (Une extension d'un pavage de R. Penrose).

ruben rodriguez — 2018-05-09T15:36:52Z

A la suite de notre présentation des rosaces célestes (voyez la bibliographie et le
site IREM Caen), notre collègue Jean-Pierre Le Goff nous avait suggéré
d'étudier une propriété intéressante des rosaces célestes ; « Lorsque l'on
augmente le nombre p des côtés des rosaces leurs diamètres tendent vers une
limite finie ». Cette propriété éventuelle nous a intrigués et Ruben Rodriguez l'a
étudiée et étendue à une étude détaillée pour les élèves professeurs et les
étudiants de deuxième année post-bac scientifiques selon les propriétés du
nombre p : p premier ou pas, p pair ou impair et p multiple de 4 ou non... Nous
allons étudier ces différents cas qui peuvent être présentés dans le cadre d'une
étude des convergences ou divergences des séries numériques

La obra maestra del Compañero Cantero

Danielle.salles, ruben rodriguez — 2017-12-02T18:21:57Z

Introducción : esta actividad es la continuación de los trabajos del equipo Geometría y Relaciones Internacionales del IREM de Normandía-Caen cargable sobre nuestro sitio :
https: // irem.unicaen.fr / y, más particularmente :
Https : // irem.unicaen.fr / spip.php ? Article197 disponible también en español.

Nivel : a partir del segundario básico y para los alumnos profesores
Presentación del trabajo : desarrollamos en un texto que será publicado pronto in-extenso en un folleto I.R.E.M. Normandía la noción de : " Rosetones Celestes " que es una extensión de un pavimento de Roger Penrose presentado en el suelo de una iglesia de la Menorca : Santa María de Mahón.

Una actividad constructiva de pavimento bajo forma histórica
Material : hojas de papel grueso de formato A3, transportador, compás, regla de 20cm, tijeras, lápices, si es posible una superficie de trabajo de madera y software GEOGEBRA.

Presentación de la historia : Un compañero cantero, encargado por los Monumentos Históricos de rehacer el piso de una bella pequeña capilla en rotonda tuvo ganas de dejar, como los constructores de catedrales, su marca en la historia, esta sería, además, su obra maestra de recepción de Compañero (Los "Compañeros del Tour de Francia" o "Del Deber" son compañeros particularmente competentes que trabajan muchas veces para los Monumentos Históricos). El decidió entonces solar la rotonda con un Rosetón Celeste. Hacía falta que este trabajo fuese realizable y debió hacer por su puesto algunos cálculos.


La obra maestra del Compañero Cantero

Voir en ligne : https: // irem.unicaen.fr / y, más...

Le chef d'œuvre du Compagnon

adminr, Danielle.salles, Ruben.rodriguez — 2017-10-05T19:58:13Z

Les études concernant le pavage du plan au sens mathématique, c'est-à-dire un recouvrement du plan par des polygones ne comportant ni recouvrements ni espaces vides sont nombreuses et intéressantes tant par leur intérêt mathématique (le recouvrement par des pentagones non réguliers est toujours d'actualité et comporte des résultats très récents) que par leur intérêt esthétique qui a fasciné de nombreux architectes (voyez les murs de certaines constructions londoniennes) mais aussi les physiciens, les chimistes et les biologistes (recherche de films mono-moleculaires à propriétés spéciales).
Le professeur et l'élève pourront y trouver des sujets de recherche très variés, du type, par exemple de celui que nous vous proposons ici qui mêle activités mathématiques, documentation et recherche en ligne, réalisation physique en papier fort et/ou construction avec un logiciel du type de GEOGEBRA.
Cette activité fait suite aux travaux de l'équipe Géométrie et Relations Internationales de l'IREM de Normandie-Caen. Voir l'article téléchargeable sur notre site : https://irem.unicaen.fr/spip.php?article197 (disponible aussi en espagnol).
Autre ressource sur les pavages : Coordonnée par Brigitte Rozoy, une brochure tapuscrite numérisée est téléchargeable via le site de l'IREM de Normandie ; "De MC ESCHER aux dessins à motifs répétitifs" à l'url : http://numerisation.irem.univ-mrs.fr/CA/ICA82002/ICA82002.pdf

Matériel recommandé : Papier à dessin fort, ciseaux ; matériel géométrique : compas, règle graduée. Il est recommandé de disposer du logiciel GEOGEBRA.
Cette activité fait suite aux travaux de l'équipe Géométrie et Relations Internationales de l'IREM de Normandie-Caen. Voir l'article téléchargeable sur notre site : https://irem.unicaen.fr/spip.php?article197 (disponible aussi en espagnol).
Autre ressource sur les pavages : Coordonnée par Brigitte Rozoy, une brochure tapuscrite numérisée est téléchargeable via le site de l'IREM de Normandie ; "De MC ESCHER aux dessins à motifs répétitifs" à l'url : http://numerisation.irem.univ-mrs.fr/CA/ICA82002/ICA82002.pdf

Matériel recommandé : Papier à dessin fort, ciseaux ; matériel géométrique : compas, règle graduée. Il est recommandé de disposer du logiciel GEOGEBRA.
Quelques rappels et présentation : Nous avons développé dans un texte qui sera publié prochainement in-extenso dans une brochure I.R.E.M. Normandie la notion de : « Rosaces Célestes » qui est une extension d'un pavage de Roger Penrose présenté au sol d'une église de Minorque : Santa Maria de Mahon.
Cet article est dédié à la mémoire de notre cher collègue et ami Eric Trotoux qui nous a quittés des suites d'un accident en avril 2018, il était notre précieux relecteur et l'auteur de la superbe rosace céleste, logo de cet article.

Présentation de l'activité proposée aux élèves de Troisième et de Lycée ainsi qu'aux élèves professeurs et lecteurs intéressés par les réalisations des bâtisseurs de cathédrales
« Un compagnon tailleur de pierre, chargé par les monuments historiques de refaire le sol d'une belle petite chapelle en rotonde eut envie de laisser, comme les bâtisseurs de cathédrales, sa marque dans l'histoire, ce serait, de plus, son chef d'œuvre de réception de Compagnon. Il décida donc de paver la rotonde d'une Rosace Céleste. Il fallait que ce travail soit réalisable bien sûr et il dut faire quelques calculs.
La chapelle avait un diamètre de 4m mesuré au décamètre souple des maçons. Voici comment il procéderait pour tracer la fameuse Rosace Céleste : il tracerait sur le sol en ciment de son atelier un cercle de diamètre 4m puis un polygone régulier comme savent tous faire les bâtisseurs de cathédrale pour leurs vitraux et leurs pavages de nefs c'était souvent des octogones, parfois des décagones… »

Ce texte donne de belles opportunités de développements pour un large éventail de lecteurs dont nous donnons ici un aperçu.

Intérêt historique : il peut être demandé aux élèves de se documenter sur les différentes rosaces utilisées dans le domaine de l'art et de l'architecture, le premier épaulant le second.
Intérêt géométrique porté par les grandes créations de pavage du plan, développé de façon magistrale par Roger Penrose.
Intérêt scientifique en particulier biologique et chimique : assemblage des molécules d'un film mince.
Evidemment intérêt mathématique :
Révision où renforcement des figures géométriques planes pour les plus jeunes, des lignes trigonométriques pour les plus grands.

Mots clés : pavage du plan ; polygones réguliers ; lignes trigonométriques ; échelle de représentation ; groupes finis Z/nZ et leurs sous-groupes ; vitraux

Activités sur les transformations géométriques à partir de clips

gilles.damamme — 2017-06-19T20:26:56Z

Nous avons travaillé à partir de deux clips : « I cry » de Julian Perreta et « ego » de Willy William.
Cette activité peut-être utilisée pour découvrir les transformations géométriques ou pour les retrouver.
Dans un premier temps, le professeur présente les clips et les élèves cherchent les transformations.
Dans un deuxième temps, les élèves vont essayer de reproduire certaines transformations à l'aide du logiciel GeoGebra.
Voici le lien vers les fichiers Geogebra lien

Une animation à partir d'un clip de Bruno Mars

gilles.damamme — 2017-06-19T09:42:38Z

Cette activité est crée à partir du clip « Treasure » de Bruno Mars
Sur la vidéo, à partir de 1'40'', on observe une étoile bleue tournante et à l'arrière plan, des losanges rouges. Le but de l'activité est de réaliser cette animation.
Dans un premier temps, on peut demander aux élèves de tracer l'étoile sur Geogebra. On précisera que l'étoile doit être régulière afin qu'ils la tracent avec des outils géométriques.
Ensuite certains élèves vont tracer une étoile à cinq branches avec comme base un pentagone régulier (soit à l'intérieur, soit en prolongeant les côtés, soit en prenant les milieux des côtés) et d'autres une étoile à six branches soit avec un hexagone régulier soit avec deux triangles équilatéraux. Des élèves peuvent aussi construire d'autres étoiles : une étoile à huit branches avec deux carrés par exemple. Cette activité est assez riche, on peut être surpris par les nombreuses possibilités.
Un débat peut alors être lancé : quelle est la bonne étoile ?
Comme l'étoile est en mouvement et en perspective, il est difficile de donner une réponse avec des arguments mathématiques de niveau collège. Néanmoins, si on suppose que l'étoile est obtenue à partir du prolongement d'un polygone régulier, les lignes fuyantes non parallèles apportent un argument en faveur de l'étoile à cinq branches :

Il est possible de prolonger cette activité en demandant aux élèves de rédiger un programme de construction de leur étoile afin que leurs camarades puissent la tracer.

Pour terminer, afin de réaliser l'animation finale, nous avons réalisé un tutoriel vidéo disponible ci-dessous :

Activité autour des triangles d'or et des pavages de type 3 au sens de Roger PENROSE

Danielle.salles, Ruben.rodriguez — 2016-12-08T19:44:03Z

Nous vous présentons le texte français de notre conférence à l'Ile de Tatihou lors de la rentrée de l'IREM de Normandie.
Nous avons récemment mis en ligne sur ce site la version espagnole de ce texte à destination des classes bilingues franco-espagnoles et de nos correspondants sud-américains.
Voici un résumé :

Este artículo es la traducción en español del texto de nuestra conferencia hecha en la isla de Tatihou (Normandía, Francia) en el seminario del comienzo del año escolar del IREM de Caen el 28 de septiembre 2016.

Ce pavage est présenté dans des articles scolaires sur les pavages (Blog de Thérèse Eveilleau par exemple comme « Pavage de type 3 » sans étude particulière bien qu'à notre avis, il soit fort intéressant comme vous aller le constater.
Il nous a intrigués à cause de son motif principal : une rosace à 5 branches parsemée de façon aléatoire dans le pavage de la nef principale, le reste du pavage étant constitué de pavés posés "n'importe comment", nous pourrions dire "en vrac".

Cette rosace nous semblait, « à l'œil » un pentagone étoilé inscriptible dans un cercle.
Une photo, (celle du logo) nous détrompa, comme nous allons le voir ensemble…
Nous vous présentons donc dans cet article des activités géométriques autour de ce pavage très particulier et intéressant puisqu'il permet l'étude, du collège au lycée (et même des découpages amusants pour l'école maternelle) des fondamentaux :
Pavage du plan, mesure des angles en radians et/ou en degrés, angles inscrits ou au centre d'un cercle, somme des angles d'un quadrilatère, symétries et rotations,

Voici la présentation en espagnol de ce texte accessible ci-dessous.
Proponemos varias actividades y calculos sobre pentágonos estrellados y además heptágonos estrellados. Nos sirven a construir pavimentos que llamamos "al grano".
Hacemos conjecturas a propósito de construcción de los pavimentos realizada a partir de polígonos regulares de p lados en el caso que p es un número primero.
Estas actividades pueden ser propuestas tanto a los alumnos jóvenes del final del secundario asi como a los estudiantes del nivel superior..

Pour les étudiants de seconde et les élèves professeurs, nous avons ensuite développé une extension de ces pavages lorsque la rosace de départ a sept pointes. Cette activité est source de réflexion sur les nombres premiers et nous a incités à observer des rosaces à grand nombre -premier ou non- de pétales, ce qui donne lieu à des constructions très intéressantes avec GEOGEBRA et Cabri-géomètre qui ont été développées par nos collègues Philippe Langlois (groupe Jeux de l'IREM de Normandie-Caen) et Mathieu Blossier (IREM de Normandie-Rouen) que nous vous proposerons par la suite.

Jeux pour travailler la proportionnalité

gilles.damamme — 2016-06-27T14:30:05Z

Faire ses courses peut devenir un vrai casse-tête. Les achats par lots, les réductions, les paquets gratuits peuvent devenir compliqués, c'est pourquoi, nous avons choisi d'illustrer ces situations à l'aide d'un jeu. Nous avons créé trois niveaux :

Niveau 1 :
Cet exercice peut-être présenté à des élèves de cycle 3 afin de commencer ou travailler la proportionnalité. Les élèves ne doivent pas utiliser la calculatrice mais calculer mentalement. L'enseignant peut ensuite revenir sur les différents prix afin d'étudier des cas de non proportionnalité.
Niveau 2 :
Les calculs deviennent plus difficiles, l'usage de la calculatrice est autorisée. A la suite de ce jeu, on peut appuyer sur l'importance de l'affichage des prix au kilo.
Niveau 3 :
Des pourcentages sont rajoutés, soit en réduction du prix, soit en augmentant la quantité. Cet exercice a été réalisé pour des élèves de cycle 4.

Activités à partir d'un clip de Shaka Ponk

gilles.damamme — 2016-06-24T15:00:00Z

Nous avons travaillé à partir du clip de Shaka Ponk "Story o' my LF" .

Nous vous conseillons donc dans un premier temps de regarder le clip.

Quelles activités (mathématiques) vous inspirent ce clip ?
Noter ces activités ainsi que des indicateurs (par exemple durée de l'activité, mots-clés, questions, ...)

Voici maintenant deux activités que nous avons produites à partir de ce clip :

-Activité 1 :

Regarder le clip en entier
Au bout d'environ 14 secondes, et ensuite à de nombreux moments du clip, des objets défilent dans l'espace. Essayer d'énumérer un maximum d'objets que vous avez vus. Si vous ne connaissez pas leur nom, essayez de les dessiner ou de les décrire.
On peut ensuite faire recommencer l'activité en ayant auparavant présenté différents solides et polyèdres et des manières de les classer (à partir des définitions intuitives des polyèdres convexes, réguliers, ...) : La deuxième fois, le nombre d'objets retenus a-t-il sensiblement augmenté ?

Si l'un des participants souhaite savoir pourquoi il n'y a que 5 polyèdres réguliers convexes, on pourra en trouver une démonstration ici.

-Activité 2 :

Au bout d'environ 25 secondes, on voit une animation visuelle sur un losange au centre entre deux musiciens de Shaka Ponk. Regarder les animations.
Essayer à partir de GeoGebra5 de créer une animation semblable à celle du clip, quitte à la simplifier.
Dans un deuxième temps, on pourra ensuite créer ses propres animations.

Un tutoriel estdisponible ci-dessous pour décrire comment construire une animation à partir de GeoGebra 5.